Λεπτομέρειες Μαθήματος

Σκοπός του μαθήματος είναι η εμβάθυνση σε υπολογιστικές τεχνικές και αλγορίθμους επίλυσης στην Υπολογιστική Ρευστοδυναμική αλλά και στην Υπολογιστική Μηχανική γενικότερα. Έμφαση δίνεται σε προβλήματα που αναλύονται κυρίως με διακριτοποιήσεις με σχήματα πεπερασμένων διαφορών ή πεπερασμένων όγκων, σε μη-δομημένα και (κυρίως) σε δομημένα πλέγματα.

Ειδικότερα:

Διακριτοποίηση σε δομημένα και μη-δομημένα πλέγματα. Διαφοροποιήσεις ως προς τα προκύπτοντα Μητρώα και τη μορφή τους. Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα.

Γραμμικοποίηση. Δέλτα διατύπωση επαναληπτικού σχήματος. Σφάλμα λύσης και υπόλοιπο εξίσωσης. Βασικές επαναληπτικές μέθοδοι για γραμμικά συστήματα: Jacobi, Gauss-Seidel, χρήση χαλάρωσης. Κακώς τοποθετημένα προβλήματα, κατάσταση Μητρώου και αριθμοί κατάστασης. Διατύπωση και ιδιότητες γενικών επαναληπτικών σχημάτων. Αναγκαίες και ικανές συνθήκες σύγκλισης. Ασυμπτωτικός ρυθμός σύγκλισης. Μ-Μητρώα και σύνδεση τους με τα επαναληπτικά σχήματα. Κανονική διάσπαση Μητρώου. Προσταθεροποίηση γραμμικού προβλήματος.

Τεχνικές προσεγγιστικής παραγοντοποίησης. Ατελής παραγοντοποίηση Μ-Μητρώων. Παραγοντοποίηση με ή χωρίς πλήρωση. Η μέθοδος παραγοντοποίησης SIP (ισχυρή πεπλεγμένη διαδικασία παραγοντοποίησης) και η τροποποιημένη (MSIP) παραλλαγή της.

Μέθοδοι υποχώρων Krylov. Γραμμική και μη-γραμμική μέθοδος GMRES. GMRES με επανεκκίνηση. Αλγόριθμος Arnoldi. GMRES με προσταθεροποίηση. Αριστερή και δεξιά προσταθεροποίηση.

Τεχνικές πολυπλέγματος. Αλγεβρικές και γεωμετρικές μορφές πολυπλέγματος. Τελεστές επέκτασης περιορισμού, 1Δ και 2Δ. Σχήματα τύπου V, W, κλπ.

Βασικές αρχές του παράλληλου προγραμματισμού. Εμπλοκή παράλληλου προγραμματισμού για όλα τα ανωτέρω.

Υποχρεωτικές υπολογιστικές εργασίες κατ’ οίκον στις περισσότερες από τις ανωτέρω ενότητες.